Подготовка к Межвузовской олимпиаде школьников по математике 2010 года

Межвузовская олимпиада школьников по математике 2010 года (очный тур) состоится 04.04.2010 г.

Для подготовки к олимпиаде математический факультет МПГУ — проводит несколько дистанционных туров.

Предварительный тур с 20.01.2010 по 31.01.2010, который носит ознакомительный характер и ставит своей целью попробывать свои силы в решении задач, аналогичных прошлогоднему очному туру. Для получения текстов решений задач предварительного тура достаточно только зарегистрироваться на сайте.

Предварительный тур олимпиады школьников по математике

Задача 1.
Найти сумму углов \alpha,\ \beta и \gamma, указанных на рисунке, если сторона клетки равна 1.

Задача 2.
Найти все натуральные числа x и y, удовлетворяющие уравнению 2x-xy+3y=5.

Задача 3.
В букинистическом магазине антикварное собрание сочинений стоимостью 350 руб. уценивали дважды на одно и тоже число процентов. Найти это число, если известно, что после двойного снижения цен собрание сочинений стоит 283 руб. 50 коп.

Задача 4.
Отрезок AB касается двух окружностей, которые, в свою очередь, тоже касаются друг друга внешним образом, их радиусы 9 см и 36 см.
Найти радиус третьей окружности, если известно, что она касается первых двух внешним образом и отрезка AB .

Задача 5.
Решить систему:
\begin{cases}
\dfrac{2x^2}{x^2+1}=y\\
\dfrac{2y^2}{y^2+1}=x
\end{cases}

Задача 6.
Три числа образуют возрастающую арифметическую прогрессию.
Если к первому числу прибавить 8, то получится геометрическая прогрессия с суммой членов 26. Найти знаменатель геометрической прогрессии.

Задача 7.
Доказать, что если длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, то центр окружности, вписанной в этот треугольник, и точка пересечения его медиан лежат на прямой, параллельной средней по длине стороне треугольника.

Задача 8.
Вычислить: 
\frac{1+tg^2\alpha+tg^4\alpha}{1+ctg^2\alpha+ctg^{4}\alpha} +
\frac{1+ctg^2\alpha+ctg^{4}\alpha}{1+tg^2\alpha+tg^4\alpha}
, зная, что \cos4\alpha=\frac{1}{2}.

Задача 9.
Через середину диагонали куба перпендикулярно к ней проведена плоскость. Определить площадь фигуры, получившейся в сечении куба этой плоскостью, если ребро куба равно a.

Задача 10.
Найти все значения, которые может принимать функция x^2+y^2, где x,\ y удовлетворяют системе:
\begin{cases}
y\le{x}+{5}\\
y+3x\le{5}\\
2y+x+5\ge{0}
\end{cases}

Текст задач предварительного тура можно скачать в формате PDF.

Решения видны авторизованным пользователям ресурса

Вам необходимо зарегистрироваться и авторизоваться (войти на сайт), чтобы получить возможность просматривать решения.