Подготовительный тур 2 (с 15.03. по 25.03.2010 г.)


Подготовительный тур 2 для подготовки к Объединенной межвузовской олимпиаде школьников по математике 2010 проводится с 15 по 25 марта 2010 года.

Зарегистрированные пользователи в период проведения тура смогут посмотреть ответы к задачам для контроля правильности полученного ими решения.

Для получения полного текста решений задач необходимо выслать через наш сайт (зарегистрировавшись предварительно, если вы этого ещё не сделали) авторские решения не менее 4-х задач.

В Подготовительном туре 1 7 участников прислали решения от 3 до 6 задач.

Участникам, приславшим авторские решения задач в установленные сроки каждого из туров, будет выслан сертификат участника подготовительного тура олимпиады по математике в МПГУ.

Задача 1. Найти сумму \angle{KAD}+\angle{CAD}, указанных на рисунке,
если сторона клетки равна 1.

Задача 2. Найти все натуральные числа a и b, если НОК(a;b)=60, НОД(a;b)=10

Задача 3.
Из пункта А кольцевого шоссе одновременно в одном направлении выехали автомобиль и мотоцикл,
каждый с постоянной скоростью. Автомобиль без остановок дважды проехал по всему шоссе в одном направлении. В момент, когда автомобиль догнал мотоциклиста, мотоциклист повернул обратно, увеличив скорость на 16 км/час и через 22,5 минуты после разворота одновременно с автомобилем прибыл в пункт А.
Найти длину всего пути мотоциклиста, если этот путь был на 5,25 км короче длины всего шоссе.

Задача 4.
Отрезок AB есть диаметр круга, а точка C лежит вне этого круга.
Отрезки AB и BC пересекаются с окружностью в точке D и M соответственно.
Найти \angle{CBD}, если площади \triangle{DCM} и \triangle{ACB} относятся как 1:4.

Задача 5.
Найти натуральные x и y, удовлетворяющие уравнению
2x^2 + 2xy - x +y = 112 .

Задача 6.
Сумма трёх положительных чисел \alpha, \beta и \gamma равна \dfrac{\pi}{2}.
Вычислить произведение ctg\alpha\cdot{ctg\gamma}, если известно, что ctg\alpha, ctg\beta, ctg\gamma образуют арифметическую прогрессию.

Задача 7.
Дан равнобедренный \triangle ABC, BH — высота, AB = BC. Точка K лежит
на стороне BC,\ M — середина HK, HK\bot{BC}.
Доказать, что AK\bot{BM}.

Задача 8.
Решить уравнение \sin^2x+\dfrac{1}{4}\sin^2{3x}=\sin{x}\sin^2{3x} .

Задача 9.
Дана правильная треугольная призма ABCDA'B'C'D' с боковыми ребрами AA',\ BB',\ CC'.
На продолжении ребра BA взята точка M так, что MA=AB\ (MB=2AB).
Через точки M,\ B' и середину ребра AC проведена плоскость.
В каком отношении эта плоскость делит объём призмы.

Задача 10.
Положительные числа x,\ y,\ z удовлетворяют системе уравнений


\begin{cases}
  x^2+\dfrac{y^2}{3}=9\\
  \dfrac{y^2}{3}+3z^2+zy=16\\
  3z^2+x^2+3xz=25
\end{cases}

Найти значение выражения \sqrt{3}(\dfrac{xy}{6}+\dfrac{yz}{4}+\dfrac{zx}{4}).

Текст задач подготовительного тура 2 можно просмотреть в формате PDF.

Решения видны авторизованным пользователям ресурса

Вам необходимо зарегистрироваться и авторизоваться (войти на сайт), чтобы получить возможность просматривать решения.