Подготовительный тур 1 (с 18.02 по 28.02.2010 г.)


Подготовительный тур 1 для подготовки к Объединенной межвузовской олимпиаде школьников по математике 2010 проводится с 18 по 28 февраля 2010 года.

Зарегистрированные пользователи в период проведения тура смогут посмотреть ответы к задачам для контроля правильности полученного ими решения.

Для получения полного текста решений задач необходимо выслать через наш сайт (зарегистрировавшись предварительно), если вы этого ещё не сделали) авторские решения не менее 3-х задач.

Участникам, приславшим авторские решения задач в установленные сроки, будет выслан сертификат участника подготовительного тура олимпиады по математике в МПГУ.

Задача 1.
Найти площадь четырехугольника, изображенного на рисунке,
если сторона клетки равна 1.

Задача 2.
Доказать, что если n — натуральное число, то 4^n+15n-1 делится на 9.

Задача 3.

Три пункта A, B и C соединены прямолинейными дорогами. К отрезку дороги AB примыкает квадратное поле со стороной, равной \dfrac{1}{2}AB; к отрезку BC примыкает квадратное поле со стороной, равной BC, а к отрезку дороги CA примыкает прямоугольный участок леса, длиной, равной AC и шириной 4 км. Площадь леса на 20 кв. км больше суммы площадей квадратных полей.
Найти площадь леса.

Задача 4.
Дан \triangle{ABC}, AB=3\sqrt{5} cм, BC=4\sqrt{5} см. Оказалось, что медиана AA' перпендикулярна медиане CC'. Найти AC .

Задача 5.
Решить систему

\begin{cases}
  x^2-4xy+2y^2+2x+1=0\\
  \sqrt{z+x}+\sqrt{z-y}=1+\sqrt{2y-y^2}
\end{cases}

Задача 6.
Рабочий за первый день выполнил 18\% от всей порученной ему работы. В каждый следующий день он увеличивал производительность на 1\% от всей работы. За сколько дней рабочий выполнит всю работу?

Задача 7.
Дан четырёхугольник ABCD, AB=AD, \angle{CBA} = \angle{CDA}= 90^\circ. На сторонах BC и CD взяли точки E и F соответственно. Оказалось, что AE\bot{BF}. Докажите, что AF\bot{ED} .

Задача 8.
Дано \alpha, \beta, \alpha+\beta+\gamma=180^0 (\alpha, \beta, \gamma — углы невырожденного треугольника).
\sin^2{\alpha}+\sin^2{\beta}+\sin^2{\gamma}=2.
Доказть, что один из углов равен 90^\circ.

Задача 9.
В тетраэдре ABCD ребро AD перпендикулярно ребру BC. AB=7 см, BD=15 см, а AC=20 см.
Найти длину CD.

Задача 10.
Пусть x, y, удовлетворяют уравнению
|y|=-x^2+4
Найти все значения, которые может принимать функция
x^2+y^2.

Текст задач подготовительного тура 1 можно просмотреть в формате PDF.

Решения видны авторизованным пользователям ресурса

Вам необходимо зарегистрироваться и авторизоваться (войти на сайт), чтобы получить возможность просматривать решения.