Задачи межвузовской олимпиады по математике 2009 год (05.04.09 г.)

Задача № 1. Найдите координаты центра и радиус окружности, описанной около четырехугольника на рисунке, если сторона клетки равна 1.

Задача № 2. Докажите, что (62553^3-59953^3) делится на 13.

Задача № 3. Пролетая на драконе, Гарри Потер увидел крысу Рона, бегущую в противоположную сторону. Пролетев еще полминуты не меняя направления, Гарри спрыгнул с дракона и отправился в погоню. Известно, что скорость Гарри в 5 раз меньше скорости дракона. Во сколько раз скорость Гарри больше скорости крысы, если он догнал крысу через 4,5 минуты после их встречи.

Задача № 4. Дана трапеция с основаниями 1 и 4 и площадью S. Найдите площадь треугольника, образованного диагоналями и меньшим основанием трапеции.

Задача № 5. Пусть f(x)=\frac{x}{3}+2. Найдите значение функции \underbrace{f(\ldots f(f(x)) \ldots)}_{2009} в точке x=4?

Задача № 6. Третий, четвертый, седьмой и последний члены непостоянной арифметической прогрессии образуют геометрическую прогрессию. Найдите число членов этой арифметической прогрессии.

Задача № 7. Радиус вписанной в треугольник окружности равен 1, а длины высот выражаются натуральными числами. Найдите стороны треугольника.

Задача № 8. Найдите сумму всех корней уравнения 2cos(3x)+8|sin(x)|-7=0, принадлежащих отрезку [-\frac{2\pi}{3};\frac{3\pi}{4}].

Задача № 9. Тетраэдр с ребром 1 повернули на 90^{\circ} относительно прямой, соединяющей середины противоположных ребер. Найдите объём общей части нового и исходного тетраэдров.

Задача № 10. Пусть x и y удовлетворяют системе:
\left\{ \begin{array}{rcl} y-x\le5 \\  y+4x\le-5 \\  3y+2x\le-5 \\ \end{array} \right.
Найти все значения, которые может принимать функция f(x)=x^2+y^2.

Решения видны авторизованным пользователям ресурса

Вам необходимо зарегистрироваться и авторизоваться (войти на сайт), чтобы получить возможность просматривать решения.